Lutasin ang {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$30x+15y=675$$

I-subtract ang 15y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$30x=-15y+675$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{30} times -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+45}{2} para sa x sa kabilang equation na 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

I-multiply ang 42 times \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

Idagdag ang -21y sa 20y.

$$-y+945=940$$

I-subtract ang 945 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Idagdag ang \frac{45}{2} sa -\frac{5}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=20$$

Nalutas na ang system.

$$x=20,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=20,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Para gawing magkatumbas ang 30x at 42x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 42 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 30.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Pasimplehin.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

I-subtract ang 1260x+600y=28200 mula sa 1260x+630y=28350 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

Idagdag ang 1260x sa -1260x. Naka-cancel out ang term na 1260x at -1260x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$630y-600y=28350-28200$$

Idagdag ang 630y sa -600y.

$$30y=28350-28200$$

Idagdag ang 28350 sa -28200.

$$30y=150$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 30.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa 42x+20y=940. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$42x+20\times 5=940$$

I-multiply ang 20 times 5.

$$42x+100=940$$

I-subtract ang 100 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$42x=840$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 42.

$$x=20$$

Nalutas na ang system.

$$x=20,y=5$$