Lutasin ang {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-4x=8$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3y-4x=8$$

Idagdag ang 4x sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=4x+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 8+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

I-substitute ang \frac{8+4x}{3} para sa y sa kabilang equation na 2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

I-multiply ang 2 times \frac{8+4x}{3}.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

Idagdag ang \frac{8x}{3} sa -8x.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

I-subtract ang \frac{16}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{16}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{5}{16}$$

I-substitute ang -\frac{5}{16} para sa x sa y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

I-multiply ang \frac{4}{3} times -\frac{5}{16} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

Idagdag ang \frac{8}{3} sa -\frac{5}{12} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=\frac{9}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-4x=8$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$3y-4x=8$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Para gawing magkatumbas ang 3y at 2y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

Pasimplehin.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

I-subtract ang 6y-24x=21 mula sa 6y-8x=16 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

Idagdag ang 6y sa -6y. Naka-cancel out ang term na 6y at -6y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8x+24x=16-21$$

Idagdag ang -8x sa 24x.

$$16x=16-21$$

Idagdag ang 16 sa -21.

$$16x=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$x=-\frac{5}{16}$$

I-substitute ang -\frac{5}{16} para sa x sa 2y-8x=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

I-multiply ang -8 times -\frac{5}{16}.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

I-subtract ang \frac{5}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=\frac{9}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{9}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$