Lutasin ang {l}{3x-y=11}{5x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-y=11$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=y+11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+11\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times y+11.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

I-substitute ang \frac{11+y}{3} para sa x sa kabilang equation na 5x+3y=9.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+3y=9$$

I-multiply ang 5 times \frac{11+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{55}{3}+3y=9$$

Idagdag ang \frac{5y}{3} sa 3y.

$$\frac{14}{3}y+\frac{55}{3}=9$$

I-subtract ang \frac{55}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{14}{3}y=-\frac{28}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{14}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{11}{3}$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2.

$$x=\frac{-2+11}{3}$$

Idagdag ang \frac{11}{3} sa -\frac{2}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\times 3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\-\frac{5}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 11+\frac{1}{14}\times 9\\-\frac{5}{14}\times 11+\frac{3}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 11,3\times 5x+3\times 3y=3\times 9$$

Pasimplehin.

$$15x-5y=55,15x+9y=27$$

I-subtract ang 15x+9y=27 mula sa 15x-5y=55 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x-5y-9y=55-27$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-5y-9y=55-27$$

Idagdag ang -5y sa -9y.

$$-14y=55-27$$

Idagdag ang 55 sa -27.

$$-14y=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -14.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 5x+3y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+3\left(-2\right)=9$$

I-multiply ang 3 times -2.

$$5x-6=9$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-2$$