Lutasin ang {l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-8y=9$$

Idagdag ang 8y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=8y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 8y+9.

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

I-substitute ang \frac{8y}{3}+3 para sa x sa kabilang equation na 4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

I-multiply ang 4 times \frac{8y}{3}+3.

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

Idagdag ang \frac{32y}{3} sa 3y.

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{41}{3}y=-22$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{41}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{66}{41}$$

I-substitute ang -\frac{66}{41} para sa y sa x=\frac{8}{3}y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

I-multiply ang \frac{8}{3} times -\frac{66}{41} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

Idagdag ang 3 sa -\frac{176}{41}.

$$x=-\frac{53}{41}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

Pasimplehin.

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

I-subtract ang 12x+9y=-30 mula sa 12x-32y=36 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-32y-9y=36+30$$

Idagdag ang -32y sa -9y.

$$-41y=36+30$$

Idagdag ang 36 sa 30.

$$-41y=66$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -41.

$$y=-\frac{66}{41}$$

I-substitute ang -\frac{66}{41} para sa y sa 4x+3y=-10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

I-multiply ang 3 times -\frac{66}{41}.

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

Idagdag ang \frac{198}{41} sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-\frac{212}{41}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-\frac{53}{41}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$