Lutasin ang {l}{3x-8y=-13}{5y+2x=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = - 13 } \\ { 5 y + 2 x = - 19 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-7$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-8y=-13$$

Idagdag ang 8y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=8y-13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y-13\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 8y-13.

$$x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}$$

I-substitute ang \frac{8y-13}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x+5y=-19.

$$2\left(\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}\right)+5y=-19$$

I-multiply ang 2 times \frac{8y-13}{3}.

$$\frac{16}{3}y-\frac{26}{3}+5y=-19$$

Idagdag ang \frac{16y}{3} sa 5y.

$$\frac{31}{3}y-\frac{26}{3}=-19$$

Idagdag ang \frac{26}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{31}{3}y=-\frac{31}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{31}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{8}{3}\left(-1\right)-\frac{13}{3}$$

I-multiply ang \frac{8}{3} times -1.

$$x=\frac{-8-13}{3}$$

Idagdag ang -\frac{13}{3} sa -\frac{8}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-7$$

Nalutas na ang system.

$$x=-7,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{8}{31}\\-\frac{2}{31}&\frac{3}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\left(-13\right)+\frac{8}{31}\left(-19\right)\\-\frac{2}{31}\left(-13\right)+\frac{3}{31}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-7,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\left(-8\right)y=2\left(-13\right),3\times 2x+3\times 5y=3\left(-19\right)$$

Pasimplehin.

$$6x-16y=-26,6x+15y=-57$$

I-subtract ang 6x+15y=-57 mula sa 6x-16y=-26 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-16y-15y=-26+57$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-16y-15y=-26+57$$

Idagdag ang -16y sa -15y.

$$-31y=-26+57$$

Idagdag ang -26 sa 57.

$$-31y=31$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -31.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa 2x+5y=-19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+5\left(-1\right)=-19$$

I-multiply ang 5 times -1.

$$2x-5=-19$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-7$$

Nalutas na ang system.

$$x=-7,y=-1$$