Lutasin ang {l}{3x-4y=7}{x+3/2-y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 7 } \\ { \frac { x + 3 } { 2 } - y = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-4y=7$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=4y+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 4y+7.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}$$

I-substitute ang \frac{4y+7}{3} para sa x sa kabilang equation na \frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}+3\right)-y=4$$

Idagdag ang \frac{7}{3} sa 3.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-y=4$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times \frac{16+4y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-y=4$$

Idagdag ang \frac{2y}{3} sa -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=4$$

I-subtract ang \frac{8}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{7}{3}$$

I-multiply ang \frac{4}{3} times -4.

$$x=\frac{-16+7}{3}$$

Idagdag ang \frac{7}{3} sa -\frac{16}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

Pasimplehin ang pangalawang equation para gawin itong standard form.

$$\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times x+3.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-y=4$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}x-y=\frac{5}{2}$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-4\times \frac{5}{2}\\\frac{1}{2}\times 7-3\times \frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-3,y=-4$$