Lutasin ang {l}{3x-4y=-6}{x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 6 } \\ { x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-4y=-6$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=4y-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y-2$$

I-substitute ang \frac{4y}{3}-2 para sa x sa kabilang equation na x+2y=8.

$$\frac{4}{3}y-2+2y=8$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa 2y.

$$\frac{10}{3}y-2=8$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{10}{3}y=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{10}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=\frac{4}{3}y-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{4}{3}\times 3-2$$

I-multiply ang \frac{4}{3} times 3.

$$x=4-2$$

Idagdag ang -2 sa 4.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{5}\times 8\\-\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{3}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3x-4y=-6,3x+3\times 2y=3\times 8$$

Pasimplehin.

$$3x-4y=-6,3x+6y=24$$

I-subtract ang 3x+6y=24 mula sa 3x-4y=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x-4y-6y=-6-24$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y-6y=-6-24$$

Idagdag ang -4y sa -6y.

$$-10y=-6-24$$

Idagdag ang -6 sa -24.

$$-10y=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x+2y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+2\times 3=8$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x+6=8$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$