Lutasin ang {l}{3x-4y=-1}{x-6y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 1 } \\ { x - 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-4y=-1$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=4y-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 4y-1.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{4y-1}{3} para sa x sa kabilang equation na x-6y=-5.

$$\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}-6y=-5$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa -6y.

$$-\frac{14}{3}y-\frac{1}{3}=-5$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{14}{3}y=-\frac{14}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{14}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3} sa \frac{4}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)-\frac{2}{7}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-1\right)-\frac{3}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3x-4y=-1,3x+3\left(-6\right)y=3\left(-5\right)$$

Pasimplehin.

$$3x-4y=-1,3x-18y=-15$$

I-subtract ang 3x-18y=-15 mula sa 3x-4y=-1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x-4y+18y=-1+15$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y+18y=-1+15$$

Idagdag ang -4y sa 18y.

$$14y=-1+15$$

Idagdag ang -1 sa 15.

$$14y=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x-6y=-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-6=-5$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$