Lutasin ang {l}{3x-2y=-3}{2x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 3 } \\ { 2 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-2y=-3$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=2y-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

I-substitute ang \frac{2y}{3}-1 para sa x sa kabilang equation na 2x+4y=2.

$$2\left(\frac{2}{3}y-1\right)+4y=2$$

I-multiply ang 2 times \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{4}{3}y-2+4y=2$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa 4y.

$$\frac{16}{3}y-2=2$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{16}{3}y=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{16}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{3}{4}$$

I-substitute ang \frac{3}{4} para sa y sa x=\frac{2}{3}y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}-1$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times \frac{3}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{1}{2}-1$$

Idagdag ang -1 sa \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{8}\times 2\\-\frac{1}{8}\left(-3\right)+\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 2$$

Pasimplehin.

$$6x-4y=-6,6x+12y=6$$

I-subtract ang 6x+12y=6 mula sa 6x-4y=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-4y-12y=-6-6$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y-12y=-6-6$$

Idagdag ang -4y sa -12y.

$$-16y=-6-6$$

Idagdag ang -6 sa -6.

$$-16y=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -16.

$$y=\frac{3}{4}$$

I-substitute ang \frac{3}{4} para sa y sa 2x+4y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+4\times \frac{3}{4}=2$$

I-multiply ang 4 times \frac{3}{4}.

$$2x+3=2$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$