Lutasin ang {l}{3x+9y-15=48}{-2x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 9 y - 15 = 48 } \\ { - 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+9y-15=48$$

Idagdag ang 15 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x+9y=63$$

I-subtract ang 9y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-9y+63$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9y+63\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -9y+63.

$$x=-3y+21$$

I-substitute ang -3y+21 para sa x sa kabilang equation na -2x+3y=3.

$$-2\left(-3y+21\right)+3y=3$$

I-multiply ang -2 times -3y+21.

$$6y-42+3y=3$$

Idagdag ang 6y sa 3y.

$$9y-42=3$$

Idagdag ang 42 sa magkabilang dulo ng equation.

$$9y=45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=-3y+21. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3\times 5+21$$

I-multiply ang -3 times 5.

$$x=-15+21$$

Idagdag ang 21 sa -15.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\times 3-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 63-\frac{1}{3}\times 3\\\frac{2}{27}\times 63+\frac{1}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=6,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-2\times 3x-2\times 9y-2\left(-15\right)=-2\times 48,3\left(-2\right)x+3\times 3y=3\times 3$$

Pasimplehin.

$$-6x-18y+30=-96,-6x+9y=9$$

I-subtract ang -6x+9y=9 mula sa -6x-18y+30=-96 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-6x+6x-18y-9y+30=-96-9$$

Idagdag ang -6x sa 6x. Naka-cancel out ang term na -6x at 6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-18y-9y+30=-96-9$$

Idagdag ang -18y sa -9y.

$$-27y+30=-96-9$$

Idagdag ang -96 sa -9.

$$-27y+30=-105$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-27y=-135$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -27.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa -2x+3y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x+3\times 5=3$$

I-multiply ang 3 times 5.

$$-2x+15=3$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=5$$