Lutasin ang {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+5y=4$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-5y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{-5y+4}{3} para sa x sa kabilang equation na -3x+4y=11.

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

I-multiply ang -3 times \frac{-5y+4}{3}.

$$5y-4+4y=11$$

Idagdag ang 5y sa 4y.

$$9y-4=11$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$9y=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$y=\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{5}{3} para sa y sa x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

I-multiply ang -\frac{5}{3} times \frac{5}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

Idagdag ang \frac{4}{3} sa -\frac{25}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

Pasimplehin.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

I-subtract ang -9x+12y=33 mula sa -9x-15y=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

Idagdag ang -9x sa 9x. Naka-cancel out ang term na -9x at 9x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-15y-12y=-12-33$$

Idagdag ang -15y sa -12y.

$$-27y=-12-33$$

Idagdag ang -12 sa -33.

$$-27y=-45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -27.

$$y=\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{5}{3} para sa y sa -3x+4y=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

I-multiply ang 4 times \frac{5}{3}.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

I-subtract ang \frac{20}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$