Lutasin ang {l}{3x+4y=5}{5x+5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 5 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+4y=5$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{-4y+5}{3} para sa x sa kabilang equation na 5x+5y=7.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=7$$

I-multiply ang 5 times \frac{-4y+5}{3}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{25}{3}+5y=7$$

Idagdag ang -\frac{20y}{3} sa 5y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}=7$$

I-subtract ang \frac{25}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{4}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{4}{5}$$

I-substitute ang \frac{4}{5} para sa y sa x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{3}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times \frac{4}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{16}{15}+\frac{5}{3}$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa -\frac{16}{15} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{3}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&\frac{3}{3\times 5-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{4}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+\frac{4}{5}\times 7\\5-\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 5,3\times 5x+3\times 5y=3\times 7$$

Pasimplehin.

$$15x+20y=25,15x+15y=21$$

I-subtract ang 15x+15y=21 mula sa 15x+20y=25 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x+20y-15y=25-21$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$20y-15y=25-21$$

Idagdag ang 20y sa -15y.

$$5y=25-21$$

Idagdag ang 25 sa -21.

$$5y=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=\frac{4}{5}$$

I-substitute ang \frac{4}{5} para sa y sa 5x+5y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+5\times \frac{4}{5}=7$$

I-multiply ang 5 times \frac{4}{5}.

$$5x+4=7$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{3}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$