Lutasin ang {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3a+14b=4$$

I-subtract ang 14b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=-14b+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{-14b+4}{3} para sa a sa kabilang equation na 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

I-multiply ang 13 times \frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

Idagdag ang -\frac{182b}{3} sa 19b.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

I-subtract ang \frac{52}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{125}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=\frac{13}{125}$$

I-substitute ang \frac{13}{125} para sa b sa a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

I-multiply ang -\frac{14}{3} times \frac{13}{125} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Idagdag ang \frac{4}{3} sa -\frac{182}{375} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=\frac{106}{125}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Para gawing magkatumbas ang 3a at 13a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 13 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Pasimplehin.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

I-subtract ang 39a+57b=39 mula sa 39a+182b=52 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

Idagdag ang 39a sa -39a. Naka-cancel out ang term na 39a at -39a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$182b-57b=52-39$$

Idagdag ang 182b sa -57b.

$$125b=52-39$$

Idagdag ang 52 sa -39.

$$125b=13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 125.

$$b=\frac{13}{125}$$

I-substitute ang \frac{13}{125} para sa b sa 13a+19b=13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

I-multiply ang 19 times \frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

I-subtract ang \frac{247}{125} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$a=\frac{106}{125}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$