Lutasin ang {l}{3(y-2/3)-4(x+5)=14}{7(y-2/3)+2(x+5)=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( y - \frac { 2 } { 3 } ) - 4 ( x + 5 ) = 14 } \\ { 7 ( y - \frac { 2 } { 3 } ) + 2 ( x + 5 ) = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-7$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3\left(y-\frac{2}{3}\right)-4\left(x+5\right)=14,7\left(y-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3\left(y-\frac{2}{3}\right)-4\left(x+5\right)=14$$

I-multiply ang 3 times y-\frac{2}{3}.

$$3y-2-4\left(x+5\right)=14$$

I-multiply ang -4 times x+5.

$$3y-2-4x-20=14$$

Idagdag ang -2 sa -20.

$$3y-4x-22=14$$

Idagdag ang 22 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y-4x=36$$

Idagdag ang 4x sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=4x+36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+36\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 36+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+12$$

I-substitute ang \frac{4x}{3}+12 para sa y sa kabilang equation na 7\left(y-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10.

$$7\left(\frac{4}{3}x+12-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10$$

Idagdag ang 12 sa -\frac{2}{3}.

$$7\left(\frac{4}{3}x+\frac{34}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10$$

I-multiply ang 7 times \frac{4x+34}{3}.

$$\frac{28}{3}x+\frac{238}{3}+2\left(x+5\right)=10$$

I-multiply ang 2 times x+5.

$$\frac{28}{3}x+\frac{238}{3}+2x+10=10$$

Idagdag ang \frac{28x}{3} sa 2x.

$$\frac{34}{3}x+\frac{238}{3}+10=10$$

Idagdag ang \frac{238}{3} sa 10.

$$\frac{34}{3}x+\frac{268}{3}=10$$

I-subtract ang \frac{268}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{34}{3}x=-\frac{238}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{34}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-7$$

I-substitute ang -7 para sa x sa y=\frac{4}{3}x+12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{4}{3}\left(-7\right)+12$$

I-multiply ang \frac{4}{3} times -7.

$$y=-\frac{28}{3}+12$$

Idagdag ang 12 sa -\frac{28}{3}.

$$y=\frac{8}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{8}{3},x=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3\left(y-\frac{2}{3}\right)-4\left(x+5\right)=14,7\left(y-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10$$

Pasimplehin ang unang equation para gawin itong standard form.

$$3\left(y-\frac{2}{3}\right)-4\left(x+5\right)=14$$

I-multiply ang 3 times y-\frac{2}{3}.

$$3y-2-4\left(x+5\right)=14$$

I-multiply ang -4 times x+5.

$$3y-2-4x-20=14$$

Idagdag ang -2 sa -20.

$$3y-4x-22=14$$

Idagdag ang 22 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y-4x=36$$

Pasimplehin ang pangalawang equation para gawin itong standard form.

$$7\left(y-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10$$

I-multiply ang 7 times y-\frac{2}{3}.

$$7y-\frac{14}{3}+2\left(x+5\right)=10$$

I-multiply ang 2 times x+5.

$$7y-\frac{14}{3}+2x+10=10$$

Idagdag ang -\frac{14}{3} sa 10.

$$7y+2x+\frac{16}{3}=10$$

I-subtract ang \frac{16}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7y+2x=\frac{14}{3}$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{3\times 2-\left(-4\times 7\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{7}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 36+\frac{2}{17}\times \frac{14}{3}\\-\frac{7}{34}\times 36+\frac{3}{34}\times \frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{8}{3},x=-7$$