Lutasin ang {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y-1.

$$3x-3=2y-2$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$3x-3-2y=-2$$

Idagdag ang 3 sa parehong bahagi.

$$3x-2y=-2+3$$

Idagdag ang -2 at 3 para makuha ang 1.

$$3x-2y=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+5.

$$4y-4=3x+15$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$4y-4-3x=15$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$4y-3x=15+4$$

Idagdag ang 15 at 4 para makuha ang 19.

$$4y-3x=19$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-2y=1$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=2y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{2y+1}{3} para sa x sa kabilang equation na -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

I-multiply ang -3 times \frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

Idagdag ang -2y sa 4y.

$$2y-1=19$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times 10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa \frac{20}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y-1.

$$3x-3=2y-2$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$3x-3-2y=-2$$

Idagdag ang 3 sa parehong bahagi.

$$3x-2y=-2+3$$

Idagdag ang -2 at 3 para makuha ang 1.

$$3x-2y=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+5.

$$4y-4=3x+15$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$4y-4-3x=15$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$4y-3x=15+4$$

Idagdag ang 15 at 4 para makuha ang 19.

$$4y-3x=19$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=7,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y-1.

$$3x-3=2y-2$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$3x-3-2y=-2$$

Idagdag ang 3 sa parehong bahagi.

$$3x-2y=-2+3$$

Idagdag ang -2 at 3 para makuha ang 1.

$$3x-2y=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+5.

$$4y-4=3x+15$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$4y-4-3x=15$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$4y-3x=15+4$$

Idagdag ang 15 at 4 para makuha ang 19.

$$4y-3x=19$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

Pasimplehin.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

I-subtract ang -9x+12y=57 mula sa -9x+6y=-3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

Idagdag ang -9x sa 9x. Naka-cancel out ang term na -9x at 9x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y-12y=-3-57$$

Idagdag ang 6y sa -12y.

$$-6y=-3-57$$

Idagdag ang -3 sa -57.

$$-6y=-60$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa -3x+4y=19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+4\times 10=19$$

I-multiply ang 4 times 10.

$$-3x+40=19$$

I-subtract ang 40 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=10$$