Lutasin ang {l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+2.

$$3x+6=2y$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+6-2y=0$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$3x-2y=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 7x mula sa magkabilang dulo.

$$2cy+5-7x=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2cy-7x=-5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-2y=-6$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=2y-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

I-substitute ang \frac{2y}{3}-2 para sa x sa kabilang equation na -7x+2cy=-5.

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

I-multiply ang -7 times \frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

Idagdag ang -\frac{14y}{3} sa 2cy.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

I-subtract ang 14 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{14}{3}+2c.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

I-substitute ang -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)} para sa y sa x=\frac{2}{3}y-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

Idagdag ang -2 sa -\frac{19}{-7+3c}.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+2.

$$3x+6=2y$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+6-2y=0$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$3x-2y=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 7x mula sa magkabilang dulo.

$$2cy+5-7x=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2cy-7x=-5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+2.

$$3x+6=2y$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+6-2y=0$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$3x-2y=-6$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 7x mula sa magkabilang dulo.

$$2cy+5-7x=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$2cy-7x=-5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

Pasimplehin.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

I-subtract ang -21x+6cy=-15 mula sa -21x+14y=42 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Idagdag ang -21x sa 21x. Naka-cancel out ang term na -21x at 21x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Idagdag ang 14y sa -6cy.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

Idagdag ang 42 sa 15.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14-6c.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

I-substitute ang \frac{57}{2\left(7-3c\right)} para sa y sa -7x+2cy=-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

I-multiply ang 2c times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

I-subtract ang \frac{57c}{7-3c} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$