Lutasin ang {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -7 gamit ang 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

I-subtract ang 21 mula sa -6 para makuha ang -27.

$$15x-27-14y=2$$

Idagdag ang 27 sa parehong bahagi.

$$15x-14y=2+27$$

Idagdag ang 2 at 27 para makuha ang 29.

$$15x-14y=29$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Idagdag ang 27x sa parehong bahagi.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Pagsamahin ang 6x at 27x para makuha ang 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Idagdag ang 23 sa parehong bahagi.

$$33x-2y=12+23$$

Idagdag ang 12 at 23 para makuha ang 35.

$$33x-2y=35$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$15x-14y=29$$

Idagdag ang 14y sa magkabilang dulo ng equation.

$$15x=14y+29$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{15} times 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

I-substitute ang \frac{14y+29}{15} para sa x sa kabilang equation na 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

I-multiply ang 33 times \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

Idagdag ang \frac{154y}{5} sa -2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

I-subtract ang \frac{319}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{144}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

I-multiply ang \frac{14}{15} times -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

Idagdag ang \frac{29}{15} sa -\frac{14}{15} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -7 gamit ang 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

I-subtract ang 21 mula sa -6 para makuha ang -27.

$$15x-27-14y=2$$

Idagdag ang 27 sa parehong bahagi.

$$15x-14y=2+27$$

Idagdag ang 2 at 27 para makuha ang 29.

$$15x-14y=29$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Idagdag ang 27x sa parehong bahagi.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Pagsamahin ang 6x at 27x para makuha ang 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Idagdag ang 23 sa parehong bahagi.

$$33x-2y=12+23$$

Idagdag ang 12 at 23 para makuha ang 35.

$$33x-2y=35$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -7 gamit ang 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

I-subtract ang 21 mula sa -6 para makuha ang -27.

$$15x-27-14y=2$$

Idagdag ang 27 sa parehong bahagi.

$$15x-14y=2+27$$

Idagdag ang 2 at 27 para makuha ang 29.

$$15x-14y=29$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Idagdag ang 27x sa parehong bahagi.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Pagsamahin ang 6x at 27x para makuha ang 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Idagdag ang 23 sa parehong bahagi.

$$33x-2y=12+23$$

Idagdag ang 12 at 23 para makuha ang 35.

$$33x-2y=35$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Para gawing magkatumbas ang 15x at 33x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 33 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 15.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

Pasimplehin.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

I-subtract ang 495x-30y=525 mula sa 495x-462y=957 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

Idagdag ang 495x sa -495x. Naka-cancel out ang term na 495x at -495x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-462y+30y=957-525$$

Idagdag ang -462y sa 30y.

$$-432y=957-525$$

Idagdag ang 957 sa -525.

$$-432y=432$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -432.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa 33x-2y=35. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

I-multiply ang -2 times -1.

$$33x+2=35$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$33x=33$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 33.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$