Lutasin ang {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

I-multiply ang 3 times 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

I-multiply ang -5 times y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Idagdag ang 3 sa 15.

$$6x-5y+18=1$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x-5y=-17$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=5y-17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times 5y-17.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

I-substitute ang \frac{5y-17}{6} para sa x sa kabilang equation na 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3.

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

I-multiply ang -1 times \frac{5y-17}{6}.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Idagdag ang \frac{17}{6} sa 1.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

I-multiply ang 5 times \frac{-5y+23}{6}.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

I-multiply ang -4 times 2y+1.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

Idagdag ang -\frac{25y}{6} sa -8y.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

Idagdag ang \frac{115}{6} sa -4.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

I-subtract ang \frac{91}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{73}{6}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

Idagdag ang -\frac{17}{6} sa \frac{5}{6} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Pasimplehin ang unang equation para gawin itong standard form.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

I-multiply ang 3 times 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

I-multiply ang -5 times y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Idagdag ang 3 sa 15.

$$6x-5y+18=1$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x-5y=-17$$

Pasimplehin ang pangalawang equation para gawin itong standard form.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

I-multiply ang 5 times -x+1.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

I-multiply ang -4 times 2y+1.

$$-5x+5-8y-4=3$$

Idagdag ang 5 sa -4.

$$-5x-8y+1=3$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x-8y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-2,y=1$$