Lutasin ang {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=100$$

$$y=400$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$25x+35y=16500$$

I-subtract ang 35y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$25x=-35y+16500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{25} times -35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

I-substitute ang -\frac{7y}{5}+660 para sa x sa kabilang equation na x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

Idagdag ang -\frac{7y}{5} sa y.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

I-subtract ang 660 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{2}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=400$$

I-substitute ang 400 para sa y sa x=-\frac{7}{5}y+660. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

I-multiply ang -\frac{7}{5} times 400.

$$x=-560+660$$

Idagdag ang 660 sa -560.

$$x=100$$

Nalutas na ang system.

$$x=100,y=400$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=100,y=400$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Para gawing magkatumbas ang 25x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 25.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

Pasimplehin.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

I-subtract ang 25x+25y=12500 mula sa 25x+35y=16500 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

Idagdag ang 25x sa -25x. Naka-cancel out ang term na 25x at -25x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$35y-25y=16500-12500$$

Idagdag ang 35y sa -25y.

$$10y=16500-12500$$

Idagdag ang 16500 sa -12500.

$$10y=4000$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$y=400$$

I-substitute ang 400 para sa y sa x+y=500. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+400=500$$

I-subtract ang 400 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=100$$

Nalutas na ang system.

$$x=100,y=400$$