Lutasin ang {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo.

$$x+y=115-20$$

I-subtract ang 20 mula sa 115 para makuha ang 95.

$$x+y=95$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo.

$$11x-8y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=95$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+95$$

I-substitute ang -y+95 para sa x sa kabilang equation na 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

I-multiply ang 11 times -y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

Idagdag ang -11y sa -8y.

$$-19y+1045=0$$

I-subtract ang 1045 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-19y=-1045$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -19.

$$y=55$$

I-substitute ang 55 para sa y sa x=-y+95. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-55+95$$

Idagdag ang 95 sa -55.

$$x=40$$

Nalutas na ang system.

$$x=40,y=55$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo.

$$x+y=115-20$$

I-subtract ang 20 mula sa 115 para makuha ang 95.

$$x+y=95$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo.

$$11x-8y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=40,y=55$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo.

$$x+y=115-20$$

I-subtract ang 20 mula sa 115 para makuha ang 95.

$$x+y=95$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo.

$$11x-8y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Para gawing magkatumbas ang x at 11x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 11 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Pasimplehin.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

I-subtract ang 11x-8y=0 mula sa 11x+11y=1045 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

Idagdag ang 11x sa -11x. Naka-cancel out ang term na 11x at -11x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$11y+8y=1045$$

Idagdag ang 11y sa 8y.

$$19y=1045$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 19.

$$y=55$$

I-substitute ang 55 para sa y sa 11x-8y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$11x-8\times 55=0$$

I-multiply ang -8 times 55.

$$11x-440=0$$

Idagdag ang 440 sa magkabilang dulo ng equation.

$$11x=440$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$x=40$$

Nalutas na ang system.

$$x=40,y=55$$