Lutasin ang {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$2y-3x=-6$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2y-3x=-6$$

Idagdag ang 3x sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=3x-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

I-substitute ang \frac{3x}{2}-3 para sa y sa kabilang equation na 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

I-multiply ang 4 times \frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

Idagdag ang 6x sa 5x.

$$11x-12=8$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$11x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$x=\frac{20}{11}$$

I-substitute ang \frac{20}{11} para sa x sa y=\frac{3}{2}x-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times \frac{20}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

Idagdag ang -3 sa \frac{30}{11}.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$2y-3x=-6$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$2y-3x=-6$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Para gawing magkatumbas ang 2y at 4y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

Pasimplehin.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

I-subtract ang 8y+10x=16 mula sa 8y-12x=-24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

Idagdag ang 8y sa -8y. Naka-cancel out ang term na 8y at -8y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12x-10x=-24-16$$

Idagdag ang -12x sa -10x.

$$-22x=-24-16$$

Idagdag ang -24 sa -16.

$$-22x=-40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -22.

$$x=\frac{20}{11}$$

I-substitute ang \frac{20}{11} para sa x sa 4y+5x=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

I-multiply ang 5 times \frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

I-subtract ang \frac{100}{11} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$