Lutasin ang {l}{2x-5y=-3}{-4x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 3 } \\ { - 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-5y=-3$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=5y-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 5y-3.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{5y-3}{2} para sa x sa kabilang equation na -4x+y=-3.

$$-4\left(\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}\right)+y=-3$$

I-multiply ang -4 times \frac{5y-3}{2}.

$$-10y+6+y=-3$$

Idagdag ang -10y sa y.

$$-9y+6=-3$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9y=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{5}{2}y-\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5-3}{2}$$

Idagdag ang -\frac{3}{2} sa \frac{5}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\left(-3\right)-\frac{5}{18}\left(-3\right)\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)-\frac{1}{9}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-5y=-3,-4x+y=-3$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-4\times 2x-4\left(-5\right)y=-4\left(-3\right),2\left(-4\right)x+2y=2\left(-3\right)$$

Pasimplehin.

$$-8x+20y=12,-8x+2y=-6$$

I-subtract ang -8x+2y=-6 mula sa -8x+20y=12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-8x+8x+20y-2y=12+6$$

Idagdag ang -8x sa 8x. Naka-cancel out ang term na -8x at 8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$20y-2y=12+6$$

Idagdag ang 20y sa -2y.

$$18y=12+6$$

Idagdag ang 12 sa 6.

$$18y=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 18.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa -4x+y=-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x+1=-3$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$