Lutasin ang {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 10 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 8x sa parehong bahagi.

$$7y+8x=-17$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=10$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

I-substitute ang \frac{3y}{2}+5 para sa x sa kabilang equation na 8x+7y=-17.

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

I-multiply ang 8 times \frac{3y}{2}+5.

$$12y+40+7y=-17$$

Idagdag ang 12y sa 7y.

$$19y+40=-17$$

I-subtract ang 40 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$19y=-57$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 19.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=\frac{3}{2}y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -3.

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

Idagdag ang 5 sa -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 10 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 8x sa parehong bahagi.

$$7y+8x=-17$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 10 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 8x sa parehong bahagi.

$$7y+8x=-17$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Pasimplehin.

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

I-subtract ang 16x+14y=-34 mula sa 16x-24y=80 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

Idagdag ang 16x sa -16x. Naka-cancel out ang term na 16x at -16x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-24y-14y=80+34$$

Idagdag ang -24y sa -14y.

$$-38y=80+34$$

Idagdag ang 80 sa 34.

$$-38y=114$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -38.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa 8x+7y=-17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

I-multiply ang 7 times -3.

$$8x-21=-17$$

Idagdag ang 21 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$