Lutasin ang {l}{2x-3y=4}{4x+y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 4 x + y = - 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=4$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

I-substitute ang \frac{3y}{2}+2 para sa x sa kabilang equation na 4x+y=-6.

$$4\left(\frac{3}{2}y+2\right)+y=-6$$

I-multiply ang 4 times \frac{3y}{2}+2.

$$6y+8+y=-6$$

Idagdag ang 6y sa y.

$$7y+8=-6$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7y=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=\frac{3}{2}y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -2.

$$x=-3+2$$

Idagdag ang 2 sa -3.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 4+\frac{3}{14}\left(-6\right)\\-\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 4,2\times 4x+2y=2\left(-6\right)$$

Pasimplehin.

$$8x-12y=16,8x+2y=-12$$

I-subtract ang 8x+2y=-12 mula sa 8x-12y=16 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x-12y-2y=16+12$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12y-2y=16+12$$

Idagdag ang -12y sa -2y.

$$-14y=16+12$$

Idagdag ang 16 sa 12.

$$-14y=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -14.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 4x+y=-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-2=-6$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=-2$$