Lutasin ang {l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Idagdag ang 2 at 6 para makuha ang 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

Idagdag ang 3y sa parehong bahagi.

$$2x+8+3y=15$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo.

$$2x+3y=15-8$$

I-subtract ang 8 mula sa 15 para makuha ang 7.

$$2x+3y=7$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=1$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{3y+1}{2} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=7.

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

I-multiply ang 2 times \frac{3y+1}{2}.

$$3y+1+3y=7$$

Idagdag ang 3y sa 3y.

$$6y+1=7$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Idagdag ang 2 at 6 para makuha ang 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

Idagdag ang 3y sa parehong bahagi.

$$2x+8+3y=15$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo.

$$2x+3y=15-8$$

I-subtract ang 8 mula sa 15 para makuha ang 7.

$$2x+3y=7$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Idagdag ang 2 at 6 para makuha ang 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

Idagdag ang 3y sa parehong bahagi.

$$2x+8+3y=15$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo.

$$2x+3y=15-8$$

I-subtract ang 8 mula sa 15 para makuha ang 7.

$$2x+3y=7$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

I-subtract ang 2x+3y=7 mula sa 2x-3y=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y-3y=1-7$$

Idagdag ang -3y sa -3y.

$$-6y=1-7$$

Idagdag ang 1 sa -7.

$$-6y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 2x+3y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3=7$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=1$$