Lutasin ang {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+2.

$$2x-15=3y+6$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-15-3y=6$$

Idagdag ang 15 sa parehong bahagi.

$$2x-3y=6+15$$

Idagdag ang 6 at 15 para makuha ang 21.

$$2x-3y=21$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 7 gamit ang x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Idagdag ang 5y sa parehong bahagi.

$$7x-28+5y=-1$$

Idagdag ang 28 sa parehong bahagi.

$$7x+5y=-1+28$$

Idagdag ang -1 at 28 para makuha ang 27.

$$7x+5y=27$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=21$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

I-substitute ang \frac{21+3y}{2} para sa x sa kabilang equation na 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

I-multiply ang 7 times \frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

Idagdag ang \frac{21y}{2} sa 5y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

I-subtract ang \frac{147}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{31}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Idagdag ang \frac{21}{2} sa -\frac{9}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+2.

$$2x-15=3y+6$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-15-3y=6$$

Idagdag ang 15 sa parehong bahagi.

$$2x-3y=6+15$$

Idagdag ang 6 at 15 para makuha ang 21.

$$2x-3y=21$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 7 gamit ang x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Idagdag ang 5y sa parehong bahagi.

$$7x-28+5y=-1$$

Idagdag ang 28 sa parehong bahagi.

$$7x+5y=-1+28$$

Idagdag ang -1 at 28 para makuha ang 27.

$$7x+5y=27$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=6,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+2.

$$2x-15=3y+6$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-15-3y=6$$

Idagdag ang 15 sa parehong bahagi.

$$2x-3y=6+15$$

Idagdag ang 6 at 15 para makuha ang 21.

$$2x-3y=21$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 7 gamit ang x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Idagdag ang 5y sa parehong bahagi.

$$7x-28+5y=-1$$

Idagdag ang 28 sa parehong bahagi.

$$7x+5y=-1+28$$

Idagdag ang -1 at 28 para makuha ang 27.

$$7x+5y=27$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

Pasimplehin.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

I-subtract ang 14x+10y=54 mula sa 14x-21y=147 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

Idagdag ang 14x sa -14x. Naka-cancel out ang term na 14x at -14x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-21y-10y=147-54$$

Idagdag ang -21y sa -10y.

$$-31y=147-54$$

Idagdag ang 147 sa -54.

$$-31y=93$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -31.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa 7x+5y=27. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

I-multiply ang 5 times -3.

$$7x-15=27$$

Idagdag ang 15 sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=-3$$