Lutasin ang {l}{2x+y=k}{5x+2y=1-k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = k } \\ { 5 x + 2 y = 1 - k } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1-3k$$

$$y=7k-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=k$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+k\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+k.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+k}{2} para sa x sa kabilang equation na 5x+2y=1-k.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}\right)+2y=1-k$$

I-multiply ang 5 times \frac{-y+k}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{5k}{2}+2y=1-k$$

Idagdag ang -\frac{5y}{2} sa 2y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5k}{2}=1-k$$

I-subtract ang \frac{5k}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{7k}{2}+1$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=7k-2$$

I-substitute ang -2+7k para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\left(7k-2\right)+\frac{k}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -2+7k.

$$x=-\frac{7k}{2}+1+\frac{k}{2}$$

Idagdag ang \frac{k}{2} sa 1-\frac{7k}{2}.

$$x=1-3k$$

Nalutas na ang system.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2k+1-k\\5k-2\left(1-k\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-3k\\7k-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$5\times 2x+5y=5k,2\times 5x+2\times 2y=2\left(1-k\right)$$

Pasimplehin.

$$10x+5y=5k,10x+4y=2-2k$$

I-subtract ang 10x+4y=2-2k mula sa 10x+5y=5k sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+5y-4y=5k+2k-2$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y-4y=5k+2k-2$$

Idagdag ang 5y sa -4y.

$$y=5k+2k-2$$

Idagdag ang 5k sa -2+2k.

$$y=7k-2$$

I-substitute ang -2+7k para sa y sa 5x+2y=1-k. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+2\left(7k-2\right)=1-k$$

I-multiply ang 2 times -2+7k.

$$5x+14k-4=1-k$$

I-subtract ang -4+14k mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=5-15k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=1-3k$$

Nalutas na ang system.

$$x=1-3k,y=7k-2$$