Lutasin ang {l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{4}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=-6$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}-3 para sa x sa kabilang equation na -\frac{1}{4}x+y=3.

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

Idagdag ang \frac{y}{8} sa y.

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

I-subtract ang \frac{3}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{9}{8}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 2.

$$x=-1-3$$

Idagdag ang -3 sa -1.

$$x=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{4}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-4,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{4}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

I-subtract ang -\frac{1}{4}x+y=3 mula sa 2x+y=-6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

Idagdag ang 2x sa \frac{x}{4}.

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

Idagdag ang -6 sa -3.

$$\frac{9}{4}x=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{9}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-4$$

I-substitute ang -4 para sa x sa -\frac{1}{4}x+y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -4.

$$1+y=3$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=2$$