Lutasin ang {l}{2x+y=-4}{3x+5y=29}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 4 } \\ { 3 x + 5 y = 29 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-7$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=-4,3x+5y=29$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=-4$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y-4.

$$x=-\frac{1}{2}y-2$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}-2 para sa x sa kabilang equation na 3x+5y=29.

$$3\left(-\frac{1}{2}y-2\right)+5y=29$$

I-multiply ang 3 times -\frac{y}{2}-2.

$$-\frac{3}{2}y-6+5y=29$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa 5y.

$$\frac{7}{2}y-6=29$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{2}y=35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 10-2$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 10.

$$x=-5-2$$

Idagdag ang -2 sa -5.

$$x=-7$$

Nalutas na ang system.

$$x=-7,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=-4,3x+5y=29$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\29\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\29\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\29\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\29\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\29\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\29\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\left(-4\right)-\frac{1}{7}\times 29\\-\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{2}{7}\times 29\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-7,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=-4,3x+5y=29$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3y=3\left(-4\right),2\times 3x+2\times 5y=2\times 29$$

Pasimplehin.

$$6x+3y=-12,6x+10y=58$$

I-subtract ang 6x+10y=58 mula sa 6x+3y=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+3y-10y=-12-58$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-10y=-12-58$$

Idagdag ang 3y sa -10y.

$$-7y=-12-58$$

Idagdag ang -12 sa -58.

$$-7y=-70$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa 3x+5y=29. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+5\times 10=29$$

I-multiply ang 5 times 10.

$$3x+50=29$$

I-subtract ang 50 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-7$$

Nalutas na ang system.

$$x=-7,y=10$$