Lutasin ang {l}{2x+y=-2}{4x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 2 } \\ { 4 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=-2$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y-2.

$$x=-\frac{1}{2}y-1$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}-1 para sa x sa kabilang equation na 4x+5y=8.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-1\right)+5y=8$$

I-multiply ang 4 times -\frac{y}{2}-1.

$$-2y-4+5y=8$$

Idagdag ang -2y sa 5y.

$$3y-4=8$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4-1$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 4.

$$x=-2-1$$

Idagdag ang -1 sa -2.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4}&-\frac{1}{2\times 5-4}\\-\frac{4}{2\times 5-4}&\frac{2}{2\times 5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-2\right)-\frac{1}{6}\times 8\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-3,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2x+4y=4\left(-2\right),2\times 4x+2\times 5y=2\times 8$$

Pasimplehin.

$$8x+4y=-8,8x+10y=16$$

I-subtract ang 8x+10y=16 mula sa 8x+4y=-8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+4y-10y=-8-16$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y-10y=-8-16$$

Idagdag ang 4y sa -10y.

$$-6y=-8-16$$

Idagdag ang -8 sa -16.

$$-6y=-24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa 4x+5y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+5\times 4=8$$

I-multiply ang 5 times 4.

$$4x+20=8$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=4$$