Lutasin ang {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+8y=16$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-8y+16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -8y+16.

$$x=-4y+8$$

I-substitute ang -4y+8 para sa x sa kabilang equation na -x+2y+11=0.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

I-multiply ang -1 times -4y+8.

$$4y-8+2y+11=0$$

Idagdag ang 4y sa 2y.

$$6y-8+11=0$$

Idagdag ang -8 sa 11.

$$6y+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=-\frac{1}{2}$$

I-substitute ang -\frac{1}{2} para sa y sa x=-4y+8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

I-multiply ang -4 times -\frac{1}{2}.

$$x=2+8$$

Idagdag ang 8 sa 2.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

Pasimplehin.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

I-subtract ang -2x+4y+22=0 mula sa -2x-8y=-16 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y-4y-22=-16$$

Idagdag ang -8y sa -4y.

$$-12y-22=-16$$

Idagdag ang 22 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-12y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

I-substitute ang -\frac{1}{2} para sa y sa -x+2y+11=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

I-multiply ang 2 times -\frac{1}{2}.

$$-x-1+11=0$$

Idagdag ang -1 sa 11.

$$-x+10=0$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$