Lutasin ang {l}{2x+5y=13}{x+7y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 13 } \\ { x + 7 y = - 17 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{176}{9} = 19\frac{5}{9} \approx 19.555555556$$

$$y = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+5y=13$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-5y+13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+13\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -5y+13.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}$$

I-substitute ang \frac{-5y+13}{2} para sa x sa kabilang equation na x+7y=-17.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}+7y=-17$$

Idagdag ang -\frac{5y}{2} sa 7y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{13}{2}=-17$$

I-subtract ang \frac{13}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{47}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{9}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{47}{9}$$

I-substitute ang -\frac{47}{9} para sa y sa x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{47}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times -\frac{47}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{235}{18}+\frac{13}{2}$$

Idagdag ang \frac{13}{2} sa \frac{235}{18} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{176}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-5}&-\frac{5}{2\times 7-5}\\-\frac{1}{2\times 7-5}&\frac{2}{2\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}&-\frac{5}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}\times 13-\frac{5}{9}\left(-17\right)\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{2}{9}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{176}{9}\\-\frac{47}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2x+5y=13,2x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Pasimplehin.

$$2x+5y=13,2x+14y=-34$$

I-subtract ang 2x+14y=-34 mula sa 2x+5y=13 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+5y-14y=13+34$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y-14y=13+34$$

Idagdag ang 5y sa -14y.

$$-9y=13+34$$

Idagdag ang 13 sa 34.

$$-9y=47$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=-\frac{47}{9}$$

I-substitute ang -\frac{47}{9} para sa y sa x+7y=-17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+7\left(-\frac{47}{9}\right)=-17$$

I-multiply ang 7 times -\frac{47}{9}.

$$x-\frac{329}{9}=-17$$

Idagdag ang \frac{329}{9} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{176}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$