Lutasin ang {l}{2x+3y=7,80}{5x+4y=13,20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7,80 } \\ { 5 x + 4 y = 13,20 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1.2$$

$$y=1.8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=7.8$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+7.8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7.8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+7.8.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}$$

I-substitute ang -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} para sa x sa kabilang equation na 5x+4y=13.2.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}\right)+4y=13.2$$

I-multiply ang 5 times -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{39}{2}+4y=13.2$$

Idagdag ang -\frac{15y}{2} sa 4y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{39}{2}=13.2$$

I-subtract ang \frac{39}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{63}{10}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{9}{5}$$

I-substitute ang \frac{9}{5} para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{5}+\frac{39}{10}$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times \frac{9}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{-27+39}{10}$$

Idagdag ang \frac{39}{10} sa -\frac{27}{10} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{6}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.8\\13.2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 7.8+\frac{3}{7}\times 13.2\\\frac{5}{7}\times 7.8-\frac{2}{7}\times 13.2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=7.8,5x+4y=13.2$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7.8,2\times 5x+2\times 4y=2\times 13.2$$

Pasimplehin.

$$10x+15y=39,10x+8y=26.4$$

I-subtract ang 10x+8y=26.4 mula sa 10x+15y=39 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+15y-8y=39-26.4$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y-8y=39-26.4$$

Idagdag ang 15y sa -8y.

$$7y=39-26.4$$

Idagdag ang 39 sa -26.4.

$$7y=12.6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=\frac{9}{5}$$

I-substitute ang \frac{9}{5} para sa y sa 5x+4y=13.2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+4\times \frac{9}{5}=13.2$$

I-multiply ang 4 times \frac{9}{5}.

$$5x+\frac{36}{5}=13.2$$

I-subtract ang \frac{36}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{6}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{9}{5}$$