Lutasin ang {l}{2x+3y=4}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=4$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

I-substitute ang -\frac{3y}{2}+2 para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+2y=7$$

I-multiply ang 3 times -\frac{3y}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}y+6+2y=7$$

Idagdag ang -\frac{9y}{2} sa 2y.

$$-\frac{5}{2}y+6=7$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{2}y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{2}{5}$$

I-substitute ang -\frac{2}{5} para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{2}{5}\right)+2$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times -\frac{2}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{3}{5}+2$$

Idagdag ang 2 sa \frac{3}{5}.

$$x=\frac{13}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 7\\\frac{3}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 7$$

Pasimplehin.

$$6x+9y=12,6x+4y=14$$

I-subtract ang 6x+4y=14 mula sa 6x+9y=12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+9y-4y=12-14$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-4y=12-14$$

Idagdag ang 9y sa -4y.

$$5y=12-14$$

Idagdag ang 12 sa -14.

$$5y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

I-substitute ang -\frac{2}{5} para sa y sa 3x+2y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\left(-\frac{2}{5}\right)=7$$

I-multiply ang 2 times -\frac{2}{5}.

$$3x-\frac{4}{5}=7$$

Idagdag ang \frac{4}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{39}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{13}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$