Lutasin ang {l}{2x+3y=38}{-3x+2y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 38 } \\ { - 3 x + 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=38$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+38$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+38\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+38.

$$x=-\frac{3}{2}y+19$$

I-substitute ang -\frac{3y}{2}+19 para sa x sa kabilang equation na -3x+2y=21.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+19\right)+2y=21$$

I-multiply ang -3 times -\frac{3y}{2}+19.

$$\frac{9}{2}y-57+2y=21$$

Idagdag ang \frac{9y}{2} sa 2y.

$$\frac{13}{2}y-57=21$$

Idagdag ang 57 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{2}y=78$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=12$$

I-substitute ang 12 para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\times 12+19$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times 12.

$$x=-18+19$$

Idagdag ang 19 sa -18.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2\times 2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\times 2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 38-\frac{3}{13}\times 21\\\frac{3}{13}\times 38+\frac{2}{13}\times 21\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 38,2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\times 21$$

Pasimplehin.

$$-6x-9y=-114,-6x+4y=42$$

I-subtract ang -6x+4y=42 mula sa -6x-9y=-114 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-6x+6x-9y-4y=-114-42$$

Idagdag ang -6x sa 6x. Naka-cancel out ang term na -6x at 6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y-4y=-114-42$$

Idagdag ang -9y sa -4y.

$$-13y=-114-42$$

Idagdag ang -114 sa -42.

$$-13y=-156$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$y=12$$

I-substitute ang 12 para sa y sa -3x+2y=21. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+2\times 12=21$$

I-multiply ang 2 times 12.

$$-3x+24=21$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=12$$