Lutasin ang {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang p, m

$$p=-2$$

$$m=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa p sa pamamagitan ng pag-isolate sa p sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2p+3m=8$$

I-subtract ang 3m mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2p=-3m+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3m+8.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

I-substitute ang -\frac{3m}{2}+4 para sa p sa kabilang equation na p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

Idagdag ang -\frac{3m}{2} sa 2m.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}m=2$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$m=4$$

I-substitute ang 4 para sa m sa p=-\frac{3}{2}m+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang p nang direkta.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times 4.

$$p=-6+4$$

Idagdag ang 4 sa -6.

$$p=-2$$

Nalutas na ang system.

$$p=-2,m=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na p at m.

$$p=-2,m=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Para gawing magkatumbas ang 2p at p, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

Pasimplehin.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

I-subtract ang 2p+4m=12 mula sa 2p+3m=8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

Idagdag ang 2p sa -2p. Naka-cancel out ang term na 2p at -2p ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3m-4m=8-12$$

Idagdag ang 3m sa -4m.

$$-m=8-12$$

Idagdag ang 8 sa -12.

$$-m=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$m=4$$

I-substitute ang 4 para sa m sa p+2m=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang p nang direkta.

$$p+2\times 4=6$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$p+8=6$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$p=-2$$

Nalutas na ang system.

$$p=-2,m=4$$