Lutasin ang {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang m, n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa m sa pamamagitan ng pag-isolate sa m sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2m+3n=22$$

I-subtract ang 3n mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2m=-3n+22$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3n+22.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

I-substitute ang -\frac{3n}{2}+11 para sa m sa kabilang equation na m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

Idagdag ang -\frac{3n}{2} sa -2n.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

I-subtract ang 11 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$n=\frac{10}{7}$$

I-substitute ang \frac{10}{7} para sa n sa m=-\frac{3}{2}n+11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times \frac{10}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

Idagdag ang 11 sa -\frac{15}{7}.

$$m=\frac{62}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na m at n.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Para gawing magkatumbas ang 2m at m, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

Pasimplehin.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

I-subtract ang 2m-4n=12 mula sa 2m+3n=22 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

Idagdag ang 2m sa -2m. Naka-cancel out ang term na 2m at -2m ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3n+4n=22-12$$

Idagdag ang 3n sa 4n.

$$7n=22-12$$

Idagdag ang 22 sa -12.

$$7n=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$n=\frac{10}{7}$$

I-substitute ang \frac{10}{7} para sa n sa m-2n=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

I-multiply ang -2 times \frac{10}{7}.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

Idagdag ang \frac{20}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$m=\frac{62}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$