Lutasin ang {l}{2m+3n=1}{7m+3n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang m, n

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa m sa pamamagitan ng pag-isolate sa m sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2m+3n=1$$

I-subtract ang 3n mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2m=-3n+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{-3n+1}{2} para sa m sa kabilang equation na 7m+3n=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

I-multiply ang 7 times \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

Idagdag ang -\frac{21n}{2} sa 3n.

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

I-subtract ang \frac{7}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{15}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$n=-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang -\frac{1}{3} para sa n sa m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times -\frac{1}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{1}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=1$$

Nalutas na ang system.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na m at n.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

I-subtract ang 7m+3n=6 mula sa 2m+3n=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

Idagdag ang 3n sa -3n. Naka-cancel out ang term na 3n at -3n ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2m-7m=1-6$$

Idagdag ang 2m sa -7m.

$$-5m=1-6$$

Idagdag ang 1 sa -6.

$$-5m=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$m=1$$

I-substitute ang 1 para sa m sa 7m+3n=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang n nang direkta.

$$7+3n=6$$

I-subtract ang 7 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3n=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$n=-\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$