Lutasin ang {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa m sa pamamagitan ng pag-isolate sa m sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2m+3n=1$$

I-subtract ang 3n mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2m=-3n+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{-3n+1}{2} para sa m sa kabilang equation na \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

I-multiply ang \frac{5}{3} times \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Idagdag ang -\frac{5n}{2} sa -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

I-subtract ang \frac{5}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{9}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$n=-\frac{1}{27}$$

I-substitute ang -\frac{1}{27} para sa n sa m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times -\frac{1}{27} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{1}{18} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=\frac{5}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na m at n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Para gawing magkatumbas ang 2m at \frac{5m}{3}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{5}{3} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Pasimplehin.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

I-subtract ang \frac{10}{3}m-4n=2 mula sa \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Idagdag ang \frac{10m}{3} sa -\frac{10m}{3}. Naka-cancel out ang term na \frac{10m}{3} at -\frac{10m}{3} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Idagdag ang 5n sa 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

I-substitute ang -\frac{1}{27} para sa n sa \frac{5}{3}m-2n=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

I-multiply ang -2 times -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

I-subtract ang \frac{2}{27} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$m=\frac{5}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$