Lutasin ang {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2ax+by=14$$

I-subtract ang by mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2a} times -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

I-substitute ang \frac{-by+14}{2a} para sa x sa kabilang equation na -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

I-multiply ang -2 times \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Idagdag ang \frac{by}{a} sa 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Idagdag ang \frac{14}{a} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

I-substitute ang \frac{14-19a}{9a+b} para sa y sa x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

I-multiply ang -\frac{b}{2a} times \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Idagdag ang \frac{7}{a} sa -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Para gawing magkatumbas ang 2ax at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Pasimplehin.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

I-subtract ang \left(-4a\right)x+18ay=-38a mula sa \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Idagdag ang -4ax sa 4ax. Naka-cancel out ang term na -4ax at 4ax ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Idagdag ang -2by sa -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Idagdag ang -28 sa 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

I-substitute ang -\frac{-14+19a}{b+9a} para sa y sa -2x+9y=-19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

I-multiply ang 9 times -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Idagdag ang \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

I-solve ang x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2ax+by=14$$

I-subtract ang by mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2a} times -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

I-substitute ang \frac{-by+14}{2a} para sa x sa kabilang equation na -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

I-multiply ang -2 times \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Idagdag ang \frac{by}{a} sa 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Idagdag ang \frac{14}{a} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

I-substitute ang \frac{14-19a}{9a+b} para sa y sa x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

I-multiply ang -\frac{b}{2a} times \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Idagdag ang \frac{7}{a} sa -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Para gawing magkatumbas ang 2ax at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Pasimplehin.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

I-subtract ang \left(-4a\right)x+18ay=-38a mula sa \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Idagdag ang -4ax sa 4ax. Naka-cancel out ang term na -4ax at 4ax ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Idagdag ang -2by sa -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Idagdag ang -28 sa 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

I-substitute ang -\frac{-14+19a}{b+9a} para sa y sa -2x+9y=-19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

I-multiply ang 9 times -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Idagdag ang \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$