Lutasin ang {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2a+3b=4$$

I-subtract ang 3b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2a=-3b+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

I-substitute ang -\frac{3b}{2}+2 para sa a sa kabilang equation na -2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

I-multiply ang -2 times -\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

Idagdag ang 3b sa 3b.

$$6b-4=-16$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6b=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$b=-2$$

I-substitute ang -2 para sa b sa a=-\frac{3}{2}b+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times -2.

$$a=3+2$$

Idagdag ang 2 sa 3.

$$a=5$$

Nalutas na ang system.

$$a=5,b=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=5,b=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

I-subtract ang -2a+3b=-16 mula sa 2a+3b=4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

Idagdag ang 3b sa -3b. Naka-cancel out ang term na 3b at -3b ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2a+2a=4+16$$

Idagdag ang 2a sa 2a.

$$4a=4+16$$

Idagdag ang 4 sa 16.

$$4a=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$a=5$$

I-substitute ang 5 para sa a sa -2a+3b=-16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang b nang direkta.

$$-2\times 5+3b=-16$$

I-multiply ang -2 times 5.

$$-10+3b=-16$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3b=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$b=-2$$

Nalutas na ang system.

$$a=5,b=-2$$