Lutasin ang {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Idagdag ang 3 at 1 para makuha ang 4.

$$2x+6=3y+4$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$2x+6-3y=4$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo.

$$2x-3y=4-6$$

I-subtract ang 6 mula sa 4 para makuha ang -2.

$$2x-3y=-2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

Pagsamahin ang 3x at -2x para makuha ang x.

$$x-3y-3=-4$$

Idagdag ang 3 sa parehong bahagi.

$$x-3y=-4+3$$

Idagdag ang -4 at 3 para makuha ang -1.

$$x-3y=-1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=-2$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

I-substitute ang \frac{3y}{2}-1 para sa x sa kabilang equation na x-3y=-1.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=-1$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa -3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=-1$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{2}y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa x=\frac{3}{2}y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Idagdag ang 3 at 1 para makuha ang 4.

$$2x+6=3y+4$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$2x+6-3y=4$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo.

$$2x-3y=4-6$$

I-subtract ang 6 mula sa 4 para makuha ang -2.

$$2x-3y=-2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

Pagsamahin ang 3x at -2x para makuha ang x.

$$x-3y-3=-4$$

Idagdag ang 3 sa parehong bahagi.

$$x-3y=-4+3$$

Idagdag ang -4 at 3 para makuha ang -1.

$$x-3y=-1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Idagdag ang 3 at 1 para makuha ang 4.

$$2x+6=3y+4$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$2x+6-3y=4$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo.

$$2x-3y=4-6$$

I-subtract ang 6 mula sa 4 para makuha ang -2.

$$2x-3y=-2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

Pagsamahin ang 3x at -2x para makuha ang x.

$$x-3y-3=-4$$

Idagdag ang 3 sa parehong bahagi.

$$x-3y=-4+3$$

Idagdag ang -4 at 3 para makuha ang -1.

$$x-3y=-1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

I-subtract ang x-3y=-1 mula sa 2x-3y=-2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-x-3y+3y=-2+1$$

Idagdag ang -3y sa 3y. Naka-cancel out ang term na -3y at 3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-x=-2+1$$

Idagdag ang 2x sa -x.

$$x=-2+1$$

Idagdag ang -2 sa 1.

$$x=-1$$

I-substitute ang -1 para sa x sa x-3y=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-1-3y=-1$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=0$$