Lutasin ang {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

I-multiply ang 2 times x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

I-multiply ang -3 times y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Idagdag ang 4 sa 3.

$$2x-3y+7=13$$

I-subtract ang 7 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x-3y=6$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

I-substitute ang \frac{3y}{2}+3 para sa x sa kabilang equation na 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9.

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Idagdag ang 3 sa 2.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

I-multiply ang 3 times \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

I-multiply ang 5 times y-1.

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

Idagdag ang \frac{9y}{2} sa 5y.

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

Idagdag ang 15 sa -5.

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{19}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{11}{5}$$

I-substitute ang \frac{11}{5} para sa y sa x=\frac{3}{2}y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times \frac{11}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{33}{10}+3$$

Idagdag ang 3 sa \frac{33}{10}.

$$x=\frac{63}{10}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Pasimplehin ang unang equation para gawin itong standard form.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

I-multiply ang 2 times x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

I-multiply ang -3 times y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Idagdag ang 4 sa 3.

$$2x-3y+7=13$$

I-subtract ang 7 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x-3y=6$$

Pasimplehin ang pangalawang equation para gawin itong standard form.

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

I-multiply ang 3 times x+2.

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

I-multiply ang 5 times y-1.

$$3x+6+5y-5=30.9$$

Idagdag ang 6 sa -5.

$$3x+5y+1=30.9$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x+5y=29.9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$