Lutasin ang {l}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3x/2-y/3=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { \frac { 3 x } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Pagsamahin ang 6x at -2x para makuha ang 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Idagdag ang 10y sa parehong bahagi.

$$4x-2y+10y=-64$$

Pagsamahin ang -2y at 10y para makuha ang 8y.

$$4x+8y=-64$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\times 3x-2y=36$$

I-multiply ang 3 at 3 para makuha ang 9.

$$9x-2y=36$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+8y=-64$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-8y-64$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -8y-64.

$$x=-2y-16$$

I-substitute ang -2y-16 para sa x sa kabilang equation na 9x-2y=36.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=36$$

I-multiply ang 9 times -2y-16.

$$-18y-144-2y=36$$

Idagdag ang -18y sa -2y.

$$-20y-144=36$$

Idagdag ang 144 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-20y=180$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -20.

$$y=-9$$

I-substitute ang -9 para sa y sa x=-2y-16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\left(-9\right)-16$$

I-multiply ang -2 times -9.

$$x=18-16$$

Idagdag ang -16 sa 18.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Pagsamahin ang 6x at -2x para makuha ang 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Idagdag ang 10y sa parehong bahagi.

$$4x-2y+10y=-64$$

Pagsamahin ang -2y at 10y para makuha ang 8y.

$$4x+8y=-64$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\times 3x-2y=36$$

I-multiply ang 3 at 3 para makuha ang 9.

$$9x-2y=36$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Pagsamahin ang 6x at -2x para makuha ang 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Idagdag ang 10y sa parehong bahagi.

$$4x-2y+10y=-64$$

Pagsamahin ang -2y at 10y para makuha ang 8y.

$$4x+8y=-64$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\times 3x-2y=36$$

I-multiply ang 3 at 3 para makuha ang 9.

$$9x-2y=36$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36$$

Pasimplehin.

$$36x+72y=-576,36x-8y=144$$

I-subtract ang 36x-8y=144 mula sa 36x+72y=-576 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$36x-36x+72y+8y=-576-144$$

Idagdag ang 36x sa -36x. Naka-cancel out ang term na 36x at -36x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$72y+8y=-576-144$$

Idagdag ang 72y sa 8y.

$$80y=-576-144$$

Idagdag ang -576 sa -144.

$$80y=-720$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 80.

$$y=-9$$

I-substitute ang -9 para sa y sa 9x-2y=36. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$9x-2\left(-9\right)=36$$

I-multiply ang -2 times -9.

$$9x+18=36$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-9$$