Lutasin ang {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Idagdag ang 8 sa parehong bahagi.

$$6x+3y=31+8$$

Idagdag ang 31 at 8 para makuha ang 39.

$$6x+3y=39$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 2,5.

$$5x-2y=50$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+3y=39$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-3y+39$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -3y+39.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+13}{2} para sa x sa kabilang equation na 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

I-multiply ang 5 times \frac{-y+13}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

Idagdag ang -\frac{5y}{2} sa -2y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

I-subtract ang \frac{65}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{9}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{35}{9}$$

I-substitute ang -\frac{35}{9} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -\frac{35}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

Idagdag ang \frac{13}{2} sa \frac{35}{18} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{76}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Idagdag ang 8 sa parehong bahagi.

$$6x+3y=31+8$$

Idagdag ang 31 at 8 para makuha ang 39.

$$6x+3y=39$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 2,5.

$$5x-2y=50$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Idagdag ang 8 sa parehong bahagi.

$$6x+3y=31+8$$

Idagdag ang 31 at 8 para makuha ang 39.

$$6x+3y=39$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 2,5.

$$5x-2y=50$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

Pasimplehin.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

I-subtract ang 30x-12y=300 mula sa 30x+15y=195 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

Idagdag ang 30x sa -30x. Naka-cancel out ang term na 30x at -30x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y+12y=195-300$$

Idagdag ang 15y sa 12y.

$$27y=195-300$$

Idagdag ang 195 sa -300.

$$27y=-105$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 27.

$$y=-\frac{35}{9}$$

I-substitute ang -\frac{35}{9} para sa y sa 5x-2y=50. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

I-multiply ang -2 times -\frac{35}{9}.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

I-subtract ang \frac{70}{9} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{380}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{76}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$