Lutasin ang {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

I-multiply ang 2 times 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

I-multiply ang 3 times y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Idagdag ang -6 sa 12.

$$4x+3y+6=7$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x+3y=1$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-3y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{-3y+1}{4} para sa x sa kabilang equation na 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa 2.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

I-multiply ang 4 times \frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

I-multiply ang -5 times -y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

Idagdag ang -3y sa 5y.

$$2y+9-10=-3$$

Idagdag ang 9 sa -10.

$$2y-1=-3$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times -1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa \frac{3}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Pasimplehin ang unang equation para gawin itong standard form.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

I-multiply ang 2 times 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

I-multiply ang 3 times y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Idagdag ang -6 sa 12.

$$4x+3y+6=7$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x+3y=1$$

Pasimplehin ang pangalawang equation para gawin itong standard form.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

I-multiply ang 4 times x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

I-multiply ang -5 times -y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

Idagdag ang 8 sa -10.

$$4x+5y-2=-3$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x+5y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-1$$