Lutasin ang {l}{2(2x+5y)=3,6}{5(3x+2y)=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x + 5 y ) = 3,6 } \\ { 5 ( 3 x + 2 y ) = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=0.4$$

$$y=0.2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+5y=\frac{3.6}{2}$$

I-expand ang \frac{3.6}{2} sa pamamagitan ng pag-multiply sa parehong numerator at denominator ng 10.

$$2x+5y=\frac{36}{20}$$

Bawasan ang fraction \frac{36}{20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$3x+2y=\frac{8}{5}$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+5y=\frac{9}{5},3x+2y=\frac{8}{5}$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-5y+\frac{9}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+\frac{9}{5}\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -5y+\frac{9}{5}.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{10}$$

I-substitute ang -\frac{5y}{2}+\frac{9}{10} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=\frac{8}{5}.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{9}{10}\right)+2y=\frac{8}{5}$$

I-multiply ang 3 times -\frac{5y}{2}+\frac{9}{10}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{27}{10}+2y=\frac{8}{5}$$

Idagdag ang -\frac{15y}{2} sa 2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{27}{10}=\frac{8}{5}$$

I-subtract ang \frac{27}{10} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{11}{10}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{11}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{1}{5}$$

I-substitute ang \frac{1}{5} para sa y sa x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{10}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{9}{10}$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times \frac{1}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

Idagdag ang \frac{9}{10} sa -\frac{1}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+5y=\frac{3.6}{2}$$

I-expand ang \frac{3.6}{2} sa pamamagitan ng pag-multiply sa parehong numerator at denominator ng 10.

$$2x+5y=\frac{36}{20}$$

Bawasan ang fraction \frac{36}{20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$3x+2y=\frac{8}{5}$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+5y=\frac{9}{5},3x+2y=\frac{8}{5}$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 2-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-5\times 3}&\frac{2}{2\times 2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times \frac{9}{5}+\frac{5}{11}\times \frac{8}{5}\\\frac{3}{11}\times \frac{9}{5}-\frac{2}{11}\times \frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+5y=\frac{3.6}{2}$$

I-expand ang \frac{3.6}{2} sa pamamagitan ng pag-multiply sa parehong numerator at denominator ng 10.

$$2x+5y=\frac{36}{20}$$

Bawasan ang fraction \frac{36}{20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$2x+5y=\frac{9}{5}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$3x+2y=\frac{8}{5}$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+5y=\frac{9}{5},3x+2y=\frac{8}{5}$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times \frac{9}{5},2\times 3x+2\times 2y=2\times \frac{8}{5}$$

Pasimplehin.

$$6x+15y=\frac{27}{5},6x+4y=\frac{16}{5}$$

I-subtract ang 6x+4y=\frac{16}{5} mula sa 6x+15y=\frac{27}{5} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+15y-4y=\frac{27-16}{5}$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y-4y=\frac{27-16}{5}$$

Idagdag ang 15y sa -4y.

$$11y=\frac{27-16}{5}$$

Idagdag ang \frac{27}{5} sa -\frac{16}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$11y=\frac{11}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$y=\frac{1}{5}$$

I-substitute ang \frac{1}{5} para sa y sa 3x+2y=\frac{8}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times \frac{1}{5}=\frac{8}{5}$$

I-multiply ang 2 times \frac{1}{5}.

$$3x+\frac{2}{5}=\frac{8}{5}$$

I-subtract ang \frac{2}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{6}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{2}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{5}$$