Lutasin ang {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang m, n

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa m sa pamamagitan ng pag-isolate sa m sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$16m+50n=55$$

I-subtract ang 50n mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$16m=-50n+55$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{16} times -50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

I-substitute ang -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} para sa m sa kabilang equation na 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

I-multiply ang 2 times -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

Idagdag ang -\frac{25n}{4} sa 4n.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

I-subtract ang \frac{55}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{9}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$n=\frac{5}{6}$$

I-substitute ang \frac{5}{6} para sa n sa m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

I-multiply ang -\frac{25}{8} times \frac{5}{6} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

Idagdag ang \frac{55}{16} sa -\frac{125}{48} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=\frac{5}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na m at n.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Para gawing magkatumbas ang 16m at 2m, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 16.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

Pasimplehin.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

I-subtract ang 32m+64n=80 mula sa 32m+100n=110 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

Idagdag ang 32m sa -32m. Naka-cancel out ang term na 32m at -32m ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$100n-64n=110-80$$

Idagdag ang 100n sa -64n.

$$36n=110-80$$

Idagdag ang 110 sa -80.

$$36n=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 36.

$$n=\frac{5}{6}$$

I-substitute ang \frac{5}{6} para sa n sa 2m+4n=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

I-multiply ang 4 times \frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

I-subtract ang \frac{10}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2m=\frac{5}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$m=\frac{5}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$