Lutasin ang {l}{14x-3y=-63}{7x+2y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 x - 3 y = - 63 } \\ { 7 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$14x-3y=-63$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$14x=3y-63$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14.

$$x=\frac{1}{14}\left(3y-63\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{14} times -63+3y.

$$x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}$$

I-substitute ang \frac{3y}{14}-\frac{9}{2} para sa x sa kabilang equation na 7x+2y=-7.

$$7\left(\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}\right)+2y=-7$$

I-multiply ang 7 times \frac{3y}{14}-\frac{9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-7$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa 2y.

$$\frac{7}{2}y-\frac{63}{2}=-7$$

Idagdag ang \frac{63}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{2}y=\frac{49}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{14}\times 7-\frac{9}{2}$$

I-multiply ang \frac{3}{14} times 7.

$$x=\frac{3-9}{2}$$

Idagdag ang -\frac{9}{2} sa \frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{14}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}&\frac{3}{49}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}\left(-63\right)+\frac{3}{49}\left(-7\right)\\-\frac{1}{7}\left(-63\right)+\frac{2}{7}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-3,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Para gawing magkatumbas ang 14x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 14.

$$7\times 14x+7\left(-3\right)y=7\left(-63\right),14\times 7x+14\times 2y=14\left(-7\right)$$

Pasimplehin.

$$98x-21y=-441,98x+28y=-98$$

I-subtract ang 98x+28y=-98 mula sa 98x-21y=-441 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$98x-98x-21y-28y=-441+98$$

Idagdag ang 98x sa -98x. Naka-cancel out ang term na 98x at -98x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-21y-28y=-441+98$$

Idagdag ang -21y sa -28y.

$$-49y=-441+98$$

Idagdag ang -441 sa 98.

$$-49y=-343$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -49.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa 7x+2y=-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x+2\times 7=-7$$

I-multiply ang 2 times 7.

$$7x+14=-7$$

I-subtract ang 14 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=7$$