Lutasin ang {l}{120x+100y=36000}{(138-120)x+(120-100)y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 120 x + 100 y = 36000 } \\ { ( 138 - 120 ) x + ( 120 - 100 ) y = 6000 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=200$$

$$y=120$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$120x+100y=36000,18x+20y=6000$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$120x+100y=36000$$

I-subtract ang 100y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$120x=-100y+36000$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 120.

$$x=\frac{1}{120}\left(-100y+36000\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{120} times -100y+36000.

$$x=-\frac{5}{6}y+300$$

I-substitute ang -\frac{5y}{6}+300 para sa x sa kabilang equation na 18x+20y=6000.

$$18\left(-\frac{5}{6}y+300\right)+20y=6000$$

I-multiply ang 18 times -\frac{5y}{6}+300.

$$-15y+5400+20y=6000$$

Idagdag ang -15y sa 20y.

$$5y+5400=6000$$

I-subtract ang 5400 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=600$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=120$$

I-substitute ang 120 para sa y sa x=-\frac{5}{6}y+300. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{6}\times 120+300$$

I-multiply ang -\frac{5}{6} times 120.

$$x=-100+300$$

Idagdag ang 300 sa -100.

$$x=200$$

Nalutas na ang system.

$$x=200,y=120$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$120x+100y=36000,18x+20y=6000$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36000\\6000\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36000\\6000\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36000\\6000\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36000\\6000\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{120\times 20-100\times 18}&-\frac{100}{120\times 20-100\times 18}\\-\frac{18}{120\times 20-100\times 18}&\frac{120}{120\times 20-100\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36000\\6000\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{6}\\-\frac{3}{100}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36000\\6000\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 36000-\frac{1}{6}\times 6000\\-\frac{3}{100}\times 36000+\frac{1}{5}\times 6000\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\120\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=200,y=120$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$120x+100y=36000,18x+20y=6000$$

Para gawing magkatumbas ang 120x at 18x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 18 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 120.

$$18\times 120x+18\times 100y=18\times 36000,120\times 18x+120\times 20y=120\times 6000$$

Pasimplehin.

$$2160x+1800y=648000,2160x+2400y=720000$$

I-subtract ang 2160x+2400y=720000 mula sa 2160x+1800y=648000 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2160x-2160x+1800y-2400y=648000-720000$$

Idagdag ang 2160x sa -2160x. Naka-cancel out ang term na 2160x at -2160x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$1800y-2400y=648000-720000$$

Idagdag ang 1800y sa -2400y.

$$-600y=648000-720000$$

Idagdag ang 648000 sa -720000.

$$-600y=-72000$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -600.

$$y=120$$

I-substitute ang 120 para sa y sa 18x+20y=6000. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$18x+20\times 120=6000$$

I-multiply ang 20 times 120.

$$18x+2400=6000$$

I-subtract ang 2400 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$18x=3600$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 18.

$$x=200$$

Nalutas na ang system.

$$x=200,y=120$$